can も be able to も「能力」について表現する言葉です。
「できる」という意味でどっちを使ってもいいと教わりますね。
よく生徒から「どうやって使い分けるの」と聞かれる言葉です。
実際、小中学生が学ぶ段階では特に使い分けが必要ありません。
というのも、「能力」の意味を学ぶためです。
「依頼」の表現も学ぶのですが、その時には be able to を教えず、「書き換えしなさい」という問題が出されることはないわけです。
では、簡単に違いをご紹介します。
can
現在形で使用されます。
「～できる」という意味ですね。
能力や、一般的可能性、許可の意味があります。
今はできなくても、練習すればできる可能性があるということも言えます。
過去形では、「could」という形を学びますね。
能力の意味で過去形を使えますが、「過去に能力があった」ということを表します。
When I was little, I could swim fast.
小さいときは早く泳げた。
過去形では、依頼、許可、助言の意味があります。
依頼：Could you open the door？
ドアを開けていただけませんか。
許可：Could I visit teacher's room?
職員室を訪れてもよろしいでしょうか。
助言：You could try the new way.
新しいやり方も試してみたら。
be able to
be 動詞を変えることで現在形、過去形、未来形にできます。
can と同じように能力について表現します。
すこしだけ「きちんとした話し方」に聞こえます。
話し言葉では、「can」の方が多いようですね。
過去形では、be able to でなければできないニュアンスがあります。
He was able to fly home.
彼は飛行機で帰ることができました。
これは、実際に飛行機にのって帰ったのです。
過去に実際に行動したのかどうかで使い分けます。
また、managed （何とかやれた）、succeeded (...ing) （うまく...できた) という意味の時にも be able to を使用します。
まとめ
上記以外にも、can と be able to はまだまだたくさん説明すべきことがあります。
とりあえず簡単な使い分けができるようになれば、自然な表現ができるようになります。
